今日 #tokyor に参加できなくて寂しかったから記事を書くことにしました。

前置き

小さい頃,歯車がついた定規でその歯車に鉛筆を使ってぐるぐる回すと,不思議な模様が出てくるので遊んだことありませんか?

私が子どもの頃にそれを手にし,すごく興奮してひたすら遊び倒してました。でもお気に入りのおもちゃほどよく壊れるもので,あえなく遊べなくなり,名前もわからずに30年ほど経過しました…

そして先日ふと思い出し,「あれってサイクロイドみたいなやつだよな。てことは座標を数式で表現できるよね?ならRで描写できるんじゃね?」ということで調べました。

アレの数式について

サイクロイド媒介変数表示は以下の通り:

\[ \begin{cases} x = a( \theta - \sin \theta) \\ y = a( 1 - \cos \theta) \end{cases} \]

\(a\)は転がす円の半径,\(\theta\)は転がる円が回転した角度を表す。\(y\)成分は上下の振動で,\(x\)成分は回転した分の円周に振動がゆらぎとして乗っかっている。「横へ転がっている」というのがx成分に追加されているイメージ,かな。

こんな感じで探していると,トコロイドというのを見つけた1。この内トコロイドこそ,探していたものだった…!

てことで,数式はこんな感じ:

\[ \begin{cases} x = (a - b)\cos \theta + p\cos\left(\frac{a-b}{b}\theta\right) \\ y = (a - b)\sin \theta - p\sin\left(\frac{a-b}{b}\theta\right) \end{cases} \]

なお,\(a\)は定円(外枠の円)の半径,\(b\)は動円(中で動いている円)の半径,\(p\)は描画点の半径,\(\theta\)は回転角とします。

この式さえあれば,あとはRで描くなんて簡単です。

アレをRで描く

てことで,以下のコードを書いてみました:

# 数式のa, b, pを指定
a = 1
b = 0.3
p = 0.11

# 回転数とサンプリングする角度の間隔を指定
turn = 100
by = 0.01

# x, yを算出するためにthetaを準備
theta <- seq(from = 0, to = 2*pi*turn, by = by)

# 座標をdata.frameで生成
df <- data.frame(
  x = (a - b)*cos(theta) + (b-p)*cos((a-b)/b*theta),
  y = (a - b)*sin(theta) - (b-p)*sin((a-b)/b*theta)
)

# 取得した座標を線で結んでプロット
plot(df, type = "l")

いけました。これでbとpに指定する値を変更すると,いろんなもの描けます。30年振りの会合でした。

そうだShinyだ

ただ,このままだと毎回実行するのも面倒ですし,こういうのこそ簡単にパラメータいじってインタラクティブにしたいものです。

そうです,Shinyです。もうserver側のコードはほぼできているので,あとはUIまわりを準備してやれば出来上がりとなります。てことで作りました:

kazutan/Spirograph

昨日に30分でさくっと作ったのでかなり手抜きです。ちなみにこんな感じです:

なお,このキャプチャ画面の状態から,さらにalphaというパラメータを追加していますが,これは全体の回転パラメータです。動かしたらすぐに理解できると思います。

昨晩これをいろいろ弄ってたらあっという間に時間が過ぎてしまいました…よかったら遊んでください。

Enjoy!

  1. 当初名前がわからなかったので,内サイクロイドから頭の中で考えて式を導いてた。まああってたからよかった。↩